数学纪闻录 第121章 没有公设的欧几里得

没有公设的欧几里得

《欧几里得＜几何原本＞第一卷。附修改及通俗注释。试图完全摒弃公设；并在不引入任何非几何原本其他部分共有原理的情况下，建立平行线理论》。剑桥大学一成员着。第三版。供尊贵的小姐使用。伦敦，1830年。

作者是（现为将军的）佩罗内·汤普森中校{619}，也是《谷物法问答》的作者。我在1834年1月的《教育季刊》上评论了第四版——该版名为《没有公设的几何学》，1833年出版。当时为《威斯敏斯特评论》撰稿（即使不是编辑）的汤普森上校，在一篇文章中作了回应，其作者身份不容错认。

同一作者对该问题的更多尝试，将在后文看到。这些都是敏锐而合乎逻辑的思辨；但它们并未以该问题所要求的方式克服困难。平行线悖论并未在我的书中占据太多篇幅：其案例大多见于几何学体系或对其的注释中。其中大多数是提出额外的公设；有些是试图在不引入任何新公设的情况下解决问题。佩罗内·汤普森将军的悖论总是基于对前人着作的深入研究而构建，他在上述着作中收集了一批尝试的案例，其要点见于《便士百科全书》和《英语百科全书》的平行线词条。他给出了从他发现的材料中选出的三十个实例。{288}

拉格朗日{621}在他晚年时，曾以为自己克服了这个困难。他甚至写了一篇论文，带到研究院并开始宣读。但在第一段中，他注意到了某个之前未曾察觉的问题：他喃喃道我还得再想想{622}，然后把论文放回了口袋。

硝酸银的玩笑

以下段落出现在1831年5月4日的《晨邮报》上：

我们了解到，尽管由于一些与公众无关的情况，古尔本先生{623}谢绝成为大学荣誉学位的候选人，但他的科学造诣绝非微不足道。众所周知，他是《哲学汇刊》上一篇关于精确求取圆弧长的论文的作者，并且研究过月形腐蚀曲线（lunar caustic）的方程——这个问题可能在海事天文学中大有用途。

{289}

这个恶作剧——可能对任何报纸都会成功——是由一些支持另一位剑桥大学候选人卢伯克先生的剑桥诙谐者，哄骗了支持古尔本先生的《晨邮报》而刊登的。按照通常的保密原则，我可以说我一直怀疑德林克沃特·贝休恩{624}与此事有关。这个恶作剧的技巧在于避免了众所周知的化圆为方一词，而使用了并非所有人都知道是其同义词的精确求取圆弧长。《晨邮报》第二天对恶作剧者进行了笼统的斥责，并未提及任何具体事例。必须补充的是，尽管数学中存在焦散线（caustics），但并没有所谓的月形腐蚀曲线（lunar caustic，硝酸银的俗称）。

就古尔本先生而言，上述情况可谓诗意的公正。他正是那位早年曾对天文学会代表团说政府对这个国家所有的科学都毫不在乎的大臣。可能还有人记得此事：我是从当时在场、现已故去的多位人士那里听说的。如今情况已大为改观。我在天文学会任职三十年；据我所知，那个时期的每一届政府，无论是辉格党还是托利党，在需要时都愿意提供影响力支持，并且每当有需要向下议院交代时，也愿意提供资金。随后出现了以下更正。关于古尔本先生的恶作剧，C. H. 和汤普森·库珀先生们{625}纠正了一个错误，指出引发该恶作剧的选举是古尔本{290}和耶茨·皮尔{626}击败帕默斯顿勋爵{627}和卡文迪什先生{628}的那次。他们补充说，大学里着名的仪仗官冈宁先生将这个恶作剧归因于已故的 R. 希普尚克斯牧师，据他们称，一些巧妙的虚构传记——据我理解是关于公众人物的——也被归到他名下，这些传记曾骗过了《剑桥纪事报》的编辑，该编辑至死都未怀疑其真实性。由于我与希普尚克斯先生{629}在当时以及他余生（二十五年）的大部分时间里都保持着极其密切的交往，却从未听他提及任何此类事情——这并非他的风格，尽管他拥有另一种{291}讽刺才能——我确信他与这些事无关。我可以补充说，他其他的密友以及他的家人也从未听他以作者身份提及这些恶作剧，并且和我一样不相信他是作者。我这样说并非指责真正的作者有任何过错，因为此类恶作剧在任何时候都是公平的选举玩笑，而仅仅是为了纠正张冠李戴的情况，并再举一例说明归因于作者的不确定性。如果希普尚克斯先生曾告诉我他炮制了这个恶作剧，我会毫不犹豫地归功于他。我认为所有巧妙且不带尖刻和个人指责的选举讽刺作品，都为大众提供了宣泄情绪的良好渠道，若没有这些，情绪肯定会找到不良的宣泄途径。

[但我现在怀疑巴贝奇先生{630}与此恶作剧有关。他在他的《片段，等等》中提到了此事，而且显然是凭记忆写的，因为他搞错了年份。但他给出了那段文字，虽然不准确，却对要点有如此清晰的记忆，不禁让人怀疑他就是作者，或许是与 D. B.{631} 合作。两人都在卡文迪什的委员会里。巴贝奇先生补充说，一天深夜，一辆马车急匆匆地赶到《晨邮报》办公室，递交了稿件，声称来自古尔本先生的委员会，同时要求第二天早上将五十份额外的《邮报》送到他们的委员会房间。我认为这个人——我唯一听说过的——既知道马车的事又知道额外份数的人，肯定知道得更多。]

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喜欢数学纪闻录请大家收藏：()数学纪闻录全本小说网更新速度全网最快。关于德蒙维尔先生

德蒙维尔——一个法国人的教名是他自己的秘密，除非该姓氏有两个人。德蒙维尔先生是{292}法国发现者与英国发现者之间差异的一个很好的例子。在英国，有公众愿意倾听那些不借助数学做出的数学主题的发现：有公众会聆听、惊叹，并认为发现者的主张可能有些依据。那个不为人知的人或许是对的：我曾听说，一个人写了一本关于黄道十二宫标志的书，伦敦所有的哲学家都无法反驳，他在古老的乡村小镇赢得的名声，就其本身而言，也是一种声誉。因此，我们有大量的发现者，即使在天文学领域，也因为数学而宣称博学者是错误的。在法国，超出科学院影响范围之外，没有人会去思考这件事：所有稍有兴趣的人都完全信赖研究院。因此，法国的发现者将他所有的想法都转向研究院，并期望在那里获得唯一的听众。因此，他不会诋毁知识的手段，而是会像德蒙维尔先生那样说：对于泊松先生{632}，我真诚地羡慕他数学知识的千分之一，以便向最怀疑的人证明我的天文学体系。{633} 这个体系认为，我们太阳系中唯一的星体是地球、太阳和月亮；所有其他星体都是幻象，是由极地冰层反射太阳和月亮的光造成的。在数学中，加减法是属于人类的；乘除法，实质上是创造和毁灭，是神性的特权。但是，零乘以零等于一。德蒙维尔先生曾得到引荐去见威廉四世，国王希望皇家学会对他的体系提出意见：{293} 答复非常简短。国王完全正确；学会也完全正确；过错在于那些在陛下面前就他们一无所知的事情进言的人。我手头拥有的德蒙维尔先生的着作如下{634}。日期——只存在于装订时撕掉的封面上——大约在1831-34年：

《天文学简论》{635}，后附《论数学的同一性》。——《阿拉戈先生关于雷电的说明中隐含认可的创生物理学原理》。——《海上经度问题》{636}。——《真实的世界体系》{637}（共92页）。同名，四页，小字体。同名，四页，致英国科学促进会。同名，四页，致马蒂厄先生。同名，四页，关于布瓦尔先生的报告。——《创生物理学概要；真实世界体系的第三部分》{638}。

帕西的悖论

《发现的化圆为方方法》，阿瑟·帕西{639}着，微型绘画艺术的作者。呈交皇家学会审议，作者谦卑地恳求学会的保护。伦敦，1832年，8开本。

帕西先生是一位艺术家，他也因一种新的透视观点而引人注目。例如，看到一座塔的侧面（如果塔足够高的话）会看起来相交于一点，他认为这些侧面在图画中也应该彼此倾斜。基于这个{294}理论，他出版了一本小册子（我没有书名），扉页上有一座希腊神庙，据称（如果我没记错的话）是有史以来第一幅用真实透视法绘制的图画。当然，这座建筑看起来非常埃及化，有着倾斜的侧面。回应他的想法很容易。所谓的图画并非心智借以形成感知的图画；那幅图画在视网膜上。那幅中间的图画，可以这么说——人类艺术家的作品——本身也是以透视方式被观看的。如果塔高到其侧面虽然平行但看起来相交于一点，那么图画也必须高到图画的侧面虽然平行但看起来相交于一点。我从未见过有人给出这个回答，尽管我见过也听过艺术家们对帕西先生作品的评论。我倾向于认为，人们通常假设艺术家的图画就是呈现在心智面前的表象：这并不正确；我们同样也可以对物体本身这样说。1831年7月，他在阅读一篇关于化圆为方的文章时，发现存在一个难题，于是他开始工作，通过——有人会说是透过——一条裂缝获得了一束所有数学家都未曾得到的光明，并在《泰晤士报》上登广告说他已解决了这个难题。然后他准备了这部着作，读者在其中将看到，他如何证明 3.... 应该是 3.0625。他本可以通过用圆规步测绘图员的圆来发现自己的错误。

透视学方面的悖论并不多。我记得的另一个是关于一位透视学作者的，我忘了他的名字，也没有他的四页文章。他曾散发评论，针对我在《雅典娜神殿》上发表的相关笔记，他在其中否认球极平面投影是透视的一种情况，理由是整个半球形成的图像太大，眼睛无法方便地一眼看清。也就是说，它之所以不是透视，是因为透视效果太强了。{295}

关于两部几何学着作

《几何学原理通俗图解》。W. 里奇牧师{640}，法学博士着。伦敦，1833年，12开本。

《欧几里得＜几何原本＞体系新释，试图将其建立在不同基础上的尝试》。阿尔弗雷德·戴{641}，法学博士着。伦敦，1839年，12开本。

这些着作属于一个小类别，其特点在于坚持认为在几何学的一般命题中，一个命题能推出其逆命题：即所有 B 是 A可以从所有 A 是 B推出。里奇博士说：如果已经证明三角形两个角的相等性本质上依赖于对边的相等，那么随之而来的是，对边的相等性本质上依赖于角的相等。戴博士的表述如下：

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喜欢数学纪闻录请大家收藏：()数学纪闻录全本小说网更新速度全网最快。所谓欧几里得的逆命题，在主导命题中没有明确规定或暗示特定限制，而逆命题中也没有的情况下，必然是正确的；因为根据推理的性质，主导命题必须是普遍成立的，如果逆命题不是这样，它就不能如此普遍成立，但至少具有主导命题所包含的所有例外情况，因此这种情况不适合几何推理；或者，同样地，根据几何推理的本质，扩展后的逆命题的特定例外必须与我们出发时使用的全称肯定命题下的某些情况相同，这是荒谬的。

{296}

对此，我不禁要将帕夏下令打脚板时说的话转赠给我的读者——但愿这对你有好处！非常需要一种理性的逻辑学研究来向许多不同水平的数学家表明，数学中的推理与其他推理并无不同。戴博士在《论比例》（伦敦，1840年，8开本）中重复了他的论点。里奇博士是个头脑非常清晰的人。他于1818年出版了一部带有合理解释的算术着作。这对当时的改进来说为时过早，他这部优秀的着作几乎全部被当作废纸卖掉了。他晚年学习微积分时编写的微分学初级入门，这类书籍在难点上往往非常有效。

牛顿再遭抹杀

《致皇家天文学会的信，驳斥学会及所有牛顿派哲学家共同持有的错误观念》。福尔曼船长{642}，皇家海军着。谢普顿马莱特，1833年，8开本。

福尔曼船长写文章反对整个万有引力体系，但未受关注。然后他写信给布鲁厄姆勋爵、J. 赫歇尔爵士等人（我猜还有别人），要求他们设法让评论刊物关注他的书；这一要求未被应允，他便（以印刷品形式）写信给约翰·罗素勋爵{643}，抱怨他们的不诚实行为。接着，他给天文学会寄了一封手写信，邀请辩论；得到的回复是建议他学习{297}动力学。上述小册子便是由此产生的，在其中，他称学会理事会为怯懦的粪堆公鸡，并纠正了他们的学说。据我所知，这位可敬的人和值得称道的军官的一生，完全因为他无力认识到，没有人有义务在理性上与每一个选择邀请他上战场的人进行辩论而变得痛苦不堪。这个错误并非哲学家（无论是正统派还是悖论派）所独有；大多数受过教育的人，其行事方式都暗示着，没有人有权持有任何他不能准备好抵御所有挑战者的观点。

· 《大卫与歌利亚，或证明牛顿天文学体系直接违背圣经的尝试》。威廉·朗德尔{644}，老，威尔特郡米尔着。米尔，1833年，12开本。

牛顿是歌利亚；朗德尔先生是大卫。大卫拿了五块石子；朗德尔先生用了五个论点。他预料到会遭到反对；因为保罗和耶稣都曾遇到过反对。

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