数学纪闻录 第2章 数学之要务

所有睿智的思想都已被前人思考过，我们要做的只是尝试重新思考它们。——歌德《散文格言·伦理篇》第一卷第一节

伟人引用时总是充满勇气，当记忆能提供同样精彩的词句时，他们不会刻意追求原创。——爱默生《书信与社会目标·引用与原创》

凡智者之思，皆已前有所述；吾辈所求，惟在复思之。——歌德

《散文格言·伦理篇》卷一第一节

大贤引述，勇而不怯；既得珠玉，何必自琢。——爱默生

《尺牍与世务·引述与创制》

=101= 我认为应当保留mathematics这个词来表示该学科的应用领域，而使用单数形式的mathematic来指称这门科学本身，就像我们说逻辑学、修辞学或（代数的同胞姐妹）音乐那样。——西尔维斯特《英国科学促进会主席演讲（埃克塞特会议），英国科学促进会报告（1869年）；数学论文集》第2卷第659页

窃以为mathematics一词宜专指此学之应用，而用单数之mathematic指称该学科本体，犹吾辈论逻辑、修辞或（代数之同胞姊妹）音乐然。——西尔维斯特《英国科学促进会主席致辞（埃克塞特，1869年）；数学论文集》卷二第659页

=102= 所有以研究秩序和度量为目的的科学都与数学相关，无论这种度量是通过数字、图形、天体、声音还是其他任何对象来寻求；因此，应当存在一门能够解释所有关于秩序和度量的知识的普遍科学，而且这门科学确实拥有其专有名称——经过长期使用而神圣化的名称，即。它能同时涵盖所有这些学科的研究对象以及更多其他内容，这一事实证明了它在简便性和重要性上远超那些依赖它的科学......——笛卡尔《指导心智的规则》，D.哲学[托里]（纽约，1892年），第72页

凡探究秩序与度量之科学，皆与数学相关。无论此度量求诸数字、图形、星体、音律或其他对象，其理一也。故当有一普遍科学，阐释关于秩序与度量之一切知识，而不囿于特定对象之应用。此科学实有专名，沿用已久，即也。其涵盖依附科学之全部对象且远甚于此，足证其精妙与重要远胜诸科。——笛卡尔

《心智指导法则》（托里编，纽约1892年版）第72页

=103= [数学]以对量的间接测量为研究对象，其目的是根据量之间存在的精确关系，通过彼此来确定量的大小。——孔德《实证哲学》[马蒂诺译]，第1册第1章

[数学]以量之间接测度为对象，旨在根据量之间确切关系，以彼量确定此量。——孔德《实证哲学》（马蒂诺译）第一卷第一章

=104= 具体数学的任务是发现表达所研究现象的数学规律的方程式；这些方程式是微积分的出发点，微积分必须通过这些方程式从某些量推导出其他量。——孔德《实证哲学》[马蒂诺译]，第1册第2章

具体数学之要务，在于发现表述所究现象数学定律之方程式。此等方程式乃演算起点，须藉此由已知量推求他量。——孔德《实证哲学》（马蒂诺译）第一卷第二章

=105= 数学是研究量之间关系的科学。量是指任何可以与其他事物进行相等或不等比较的事物。当在任何陈述中一个事物都可以被另一个事物替代时，这两个事物就是相等的。——赫尔曼·格拉斯曼

《算术教程选段》，作品集（莱比锡，1904年），第2卷第298页

数学乃量之关联之科学。凡可判等或不等之物，皆为量。若一物于任何论断中皆可为他物所替代，则二者相等。——赫尔曼·格拉斯曼

《算术教程选粹》（莱比锡1904年版）第二卷第298页

=106= 数学可分为纯数学和混合数学：纯数学包括那些完全脱离物质和自然哲学公理来处理量的科学。主要有两门：几何和算术；一个研究连续的量，另一个研究离散的量......混合数学以某些自然哲学公理和部分为研究对象，并考察量在解释、证明和实现这些原理方面的作用。——弗朗西斯·培根

《学术的进展》第3册；《学问的进步》第2册

数学有纯粹与混合之分：纯粹数学所含诸科，皆完全脱离物质及自然哲学公理而处理量。此有二，几何与算术；一研连续之量，一究离散之量......混合数学则以某些自然哲学公理及部分为对象，就量之有助于阐释、论证及实现此等原理者而考量之。——弗朗西斯·培根《学术之进展》第三卷；《学问之增进》第二卷

=107= 几何学、理论算术和代数等学科所涉及的概念，可以延伸到我们在外部世界观察到的所有对象和变化。因此，对数学关系的考量构成了许多研究自然现象及其规律的科学（如天文学、光学和力学）的重要部分。这类科学常被称为混合数学，因为在这些知识分支中，空间与数量的关系是与通过专门观察收集的原理相结合的；而几何学、代数学等不包含任何经验结果的学科，则被称为纯数学。——威廉·休厄尔

本小章还未完，请点击下一页继续阅读后面精彩内容！

喜欢数学纪闻录请大家收藏：()数学纪闻录全本小说网更新速度全网最快。《归纳科学的哲学》第一部分第二册第一章第四节（伦敦，1858年）

几何、算数、代数诸科之理，推之万象变迁皆可贯通。故究物象律则之学，若天文、光学、力学者，其泰半皆数理相度之事。是类学问，世称「杂数」，盖度与数之理，杂糅实测之旨；而几何、代数诸科，不假经验，是为「纯数学」。——威廉·惠威尔《归纳科学之哲学》第一编卷二第一章第四节（伦敦，1858年）

=108= 高等数学是研究自然现象间数量关系的推理艺术；高等数学的各个分支就是从不同角度来考察这些关系的方法。——J·W·梅勒

《化学与物理专业学生高等数学》（纽约，1902年）前言

高等数学者，所以推度万象数理相关之艺也；其诸支派，实乃观照此理之异途耳。——梅勒

《理化生高等数术指南》（纽约，1902年）弁言

=109= 数、位置和组合......这是三个相互交叉但又截然不同的思想领域，所有数学概念都可以归入其中某一个或多个领域。——J·J·西尔维斯特《哲学杂志》第24卷（1844年）第285页；《数学论文集》第1卷第91页

数、位置、组合……此三者，理虽相交而界域分明，凡数理之思，罔不归焉。——西尔维斯特《哲学杂志》廿四卷（1844年）第285页；《算学文钞》卷一第91页

=110= 有三个主导思想，或者说三个思想领域，贯穿整个数学科学体系。每个数学真理都可以归入其中一个或几个领域：这就是数、空间和顺序这三个基本概念。

算术研究抽象数字的性质。在作为运算科学的代数中，顺序是主导思想。几何学的任务则是推演空间的性质，或者研究存在于空间中的物体的性质。——J·J·西尔维斯特

《几何学试讲》，约克英国科学促进会报告（1844年）第二部分；《数学论文集》第2卷第5页

数学之学，贯以三端精义，或谓三大思域，诸般数理真谛，咸可统摄于一域或数域之中，此即数、空间、顺序三基要也。

算术者，专研抽象之数之性；代数作为运算之学，以顺序为纲；几何之务，则在推衍空间之特质，兼究空间诸物之属性。

——J·J·西尔维斯特《几何学试讲》，载《约克英国科学促进会报告》（1844年）第二编；《数学论文集》第二卷，第五页

=111= 纯数学的研究对象是通过假设某些元素包含在某个有序流形中，而在任何构想元素之间建立的概念关系；这个流形的排序规律必须由我们选择；在唯一可设想的两种流形（离散的和连续的）中都是这种情况。——E·帕佩里茨

《论纯数学科学体系》，《德国数学家联合会年报》第1卷第36页

纯数学之所究，乃设元素含于有序流形，而推其概念之关联。此流形之序律，可任我择取；离散连续二种流形，皆如是也。——帕佩里茨

《纯数科学体系论》，《德意志算学会年报》卷一第36页

=112= 纯数学并不关心量的大小。它只是关于相对有序的思维操作的符号理论，这些操作已经变得机械化。——诺瓦利斯《着作集》（柏林，1901年）第二部分第282页

纯数学非关量也，乃机械思维操作之符号规范耳。——诺瓦利斯《文集》（柏林，1901年）第二册第282页

=113= 任何能够通过有限数量的规定（比如指定有限数量的元素）来明确和完全确定的概念，都是数学概念。数学的功能就是发展一组数学概念定义中所蕴含的推论。这组概念成员之间的相互依赖和逻辑一致性是必须的，否则这组概念要么需要被当作几个不同的组来处理，要么就超出了数学的范畴。——乔治·克里斯塔尔

《大英百科全书》（第九版），条目

凡概念能由有限条件确断者（如指定有限元素），皆为数学概念。数理之职，在推演概念群定义所含之必然。若群中诸元互依且逻辑自洽，可为一系；不然，则当别论，或非数理所辖。——克里斯塔尔《大英百科全书》（第九版）「数学」条

114. 纯粹的形式科学，即逻辑与数学，研究那些独立于对象具体内容或实质的关系。数学尤其处理涉及数量、度量和数字概念的客体间关系。——汉克尔《复数系统理论》（莱比锡，1867），第1页。

纯粹形式之学，逻辑与数学，究事物之关系，不拘其质与内容。数学尤重度量、数与大小之比。——汉克尔《复数数系论》（莱比锡，1867），页一。

115. 量是按照固定且自洽的规律进行运算的对象。运算者与被运算者的意义皆由这些规律决定。在普通代数中，这些规律即交换律、结合律和分配律；在四元数代数中，除乘法交换律不成立外，其余相同。或许有人质疑此定义是否充分或明确，但读者应思考：该定义必须涵盖皮尔斯的线性代数、逻辑代数等可能尚未发展的体系。——克里斯塔尔《大英百科全书》（第九版）“数学”条目。

本小章还未完，请点击下一页继续阅读后面精彩内容！

喜欢数学纪闻录请大家收藏：()数学纪闻录全本小说网更新速度全网最快。量者，依定法相演之术也。演者与被演者，皆由法度得义。常算有三律（交换、结合、分配），四元算则乘法不合交换，余皆同。或疑此义未周，然当知皮尔斯线性代数、逻辑代数等，皆涵其中。——克里斯塔尔《大英百科全书》条。

116. 数学（严格意义上）是一门抽象科学，通过演绎推理探究空间与数量关系的基本概念中隐含的结论。——默里《新英语词典》。

数学者，乃推演空间与数二者关系之隐微，抽象之学也。——默里《新英文字典》。

117. 历代最伟大的思想家通过概念理解形式的一切成就，皆汇聚为一门宏大的科学——数学。——赫尔巴特《裴斯泰洛齐的直观ABC理念》（朗根萨尔察，1890），第1卷，第163页。

古今贤哲以概念明形式之理，荟萃为一大科，是谓数学。——赫尔巴特《裴斯泰洛齐直观ABC理念》（朗根萨尔察，1890），卷一，页一六三。

118. 或许对现代纯粹数学范围最不片面的描述（我不敢称之为定义）是：它以形式为研究对象——此处“形式”取极广义，包括代数形式、函数关系、有序集合（如数）中的次序关系，以及运算群的形式特性分析。——霍布森《英国科学促进会主席致辞》（1910）；《自然》第84卷，第287页。

近世纯粹数学，可泛谓之形学：包代数之形、函数关系、有序集合之次序、运算群之形式特性。——霍布森《英国科学促进会致辞》（1910）；《自然》卷八四，页二八七。

喜欢数学纪闻录请大家收藏：()数学纪闻录全本小说网更新速度全网最快。