数学纪闻录 第20章 如陨星破空，自未知玄境坠世

616. 数学史作为对文明史的宝贵贡献也很重要。人类的进步与科学思想密切相关。数学和物理研究是智力进步的可靠记录。

——卡乔里《数学史》（纽约，1897年），第4页

数学之史，于文明演进亦为圭臬。盖人类昌隆，与科学哲思血脉相连，而数理之研，实乃心智精进之信史。

——卡乔里

《数学史》（纽约，1897年），第4页

617. 说即使在基础数学中也没有什么有待发现或改进的地方，这是草率的，但可以有把握地说，这个领域已经被长期而彻底地探索过了，随便来的探索者几乎没有希望得到有价值的回报。

——托德亨特，艾萨克《数学的自学；学科的冲突及其他论文》（伦敦，1873年），第73页

断言基础算学无开拓之境，未免孟浪；然此域历经累世深耕，寻常探赜者，鲜能再获丰赡之果。

——托德亨特，艾萨克《数学自学论；学科之争及他文》（伦敦，1873年），第73页

618. 我们所处的时代，知识已经不能像微积分刚被发现时那样，沿着平坦无障碍的道路扩展了，在某种程度上，当射影几何发展中阻碍突然被移除时，也允许一大批研究者涌入未开发的领域。现在不再有沿着老路轻松探索的可能了；只有那些装备了最锋利工具的人才能冒险进入原始森林。

——布尔克哈特，H.《数学与科学思维》；《德国数学家协会年报》第11卷，第55页

今非昔比，非若微积分初创、射影几何骤兴之时——彼时桎梏乍解，学林新辟，群贤毕至。今者，熟途无可闲步，秘境唯有持利器者可入，若无精甲利兵，安敢涉蛮荒之境？

——布尔克哈特，H.《数理哲思》；《德意志算学会年报》第11卷，第55页

619. 尽管我们不能只因为一段推理简单就不加考虑地否定它，但我们也不能只被简单所诱惑；我们应该注意，我们选择攻克的每一个问题，无论难易，都应该有一个有用的目的，应该在某种程度上为构建伟大的科学大厦做出贡献。

——塞格雷，科拉迪《几何研究的一些近期趋势》；《数学杂志》（1891年），第63页。《美国数学会公报》，1904年，第465页[杨，J.W.]

虽不可轻忽简易之证，然亦勿为其便所诱。择题攻坚，无论难易，必求其用，冀能为构筑算学圣殿添砖加瓦，方不负钻研之志。

——塞格雷，科拉迪《近世几何研探之趋向》；《数学志》（1891年），第63页；《美国算学会刊》，1904年，第465页[杨，J.W.]

620. 如今，没有数学家会重视孤立定理的发现，除非它能像陨石一样——从某个未被发现的思考星球上脱离出来，为一个未被怀疑的新思想领域提供线索。

——西尔维斯特，J.J.《埃克塞特协会演讲注释》；《数学论文集》（剑桥，1908年），第2卷，第715页

620. 今世算家，鲜重孤立之定理，除非其如陨星破空，自未知玄境坠世，可为启迪新思之津梁。

——西尔维斯特，J.J.《埃克塞特会讲注》；《算学文集》（剑桥，1908年）第2卷，第715页

621. 在现代数学家眼中，那些孤立的所谓“精妙定理”，其价值甚至不及新发现的“美丽花朵”对植物学家的意义——尽管外行人往往视此类成果为科学的主要魅力所在。

——赫尔曼·汉克尔《近世数学发展》（图宾根，1884年），第15页

今世算家目孤立之“妙理”，其贱于新葩之于博物者，虽常人多以斯二者为格物之至美也。

——赫尔曼·汉克尔《近世算学沿革》（图宾根，1884年），第15页

622. 可以说，科研直觉当为数学家探索之向导，使其免于在无科学价值的问题与晦涩领域中虚耗心力。这种直觉与审美感知紧密相连，是数学领域中唯一无法通过教学习得的能力，却又是每位数学家不可或缺的禀赋。

——赫尔曼·汉克尔《近世数学发展》（图宾根，1884年），第21页

算学之研，恃乎灵觉为导，防其陷身于无谓之题、幽渺之境。此灵觉与审美的相通，非教可得、非学而能，然为算家立身之根本，缺之不可。

——赫尔曼·汉克尔《近世算学沿革》（图宾根，1884年），第21页

623. 数学家在研究每一步都需具备判断直觉与审美素养，需学会依靠本能辨别真正值得投入的方向。他必须避免沦为符号的奴隶，始终铭记符号所表征的本质。正因如此，我认为数学家切不可局限于狭隘的学术训练：在数学研习初期广泛涉猎，必将对其终身研究的品格产生深远助益。

——J.W.L.格莱舍《英国科学促进会A组主席演讲》（1890年）；《自然》第42卷，第467页

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喜欢数学纪闻录请大家收藏：()数学纪闻录全本小说网更新速度全网最快。算家治学，步步需明辨之智、审度之能，当凭直觉察问题之轻重。勿为符号所役，必晓其表而通其里。故余以为，算家不可囿于偏狭之学，初学之时广涉典籍，必裨益终身之业。

——J.W.L.格莱舍《英吉利格物会A部会长演说》（1890年）；《自然》第42卷，第467页

624. 一门科学若能持续孕育大量问题，便证明其充满活力；而问题的匮乏则预示着学科的衰亡或独立发展的停滞。

——大卫·希尔伯特《数学问题》；《美国数学会公报》第8卷，第438页

算学诸科，题丰则生，题寡则殆，题绝则亡，此乃兴衰之兆也。

——大卫·希尔伯特《算学诸问》；《美邦算学会刊》第8卷，第438页

625. 在数学及其他领域中，因某种现象而陷入深度思考，往往已是新发现的一半。

——P.G.L.狄利克雷《文集》第2卷（柏林，1897年），第233页

算学及他术，遇奇事而深思，已得新境之半矣。

——P.G.L.狄利克雷《文集》第二卷（柏林，1897年），第233页

626. 学数学的人常有一种不安感：觉得手中铅笔所展现的学科智慧远超自身——连大数学家欧拉都坦言自己常为此困扰。当我们意识到所研究的多数思想源于前人（甚至几个世纪前），这种感觉便有了依据：在科学中，我们直面的其实是无数先哲的智慧结晶。

——恩斯特·马赫《通俗科学演讲》（芝加哥，1910年），第196页

习算者常觉笔下算式之智胜于己，虽欧拉亦叹此惑难消。究其因，吾辈所究之理，多承先哲遗泽，或历数百春秋。故治学之际，实与古贤之智相晤。

——恩斯特·马赫《格物浅说》（芝加哥，1910年），第196页

627. 或许正是这类事实（如平行公理、化圆为方、五次方程求解等问题最终获得严谨解答），连同哲学层面的理由，催生了一种信念（每位数学家都认同却尚未有人证明）：任何明确的数学问题必然可被精确解决——要么给出直接答案，要么通过证明其不可解来终结所有无效尝试……这种“所有数学问题均可解”的信念，是研究者最强的动力。我们心中始终回响着召唤：问题在此，寻求解答。纯凭理性即可寻得答案，因为数学中没有“不可知”。

——大卫·希尔伯特《数学问题》；《美国数学会公报》第8卷，第444-445页

昔者平行公理之辨、化圆为方之题、五次方程之解，终得确论。由此观之，众算家皆信：凡算学之问，或证其可解，或证其无解，必有所决，此乃治学之信念也。此念如鼓，催人奋进。耳畔常闻：“题在斯，求其解。凭智可达，算无‘不可知’。”

——大卫·希尔伯特《算学诸问》；《美邦算学会刊》第8卷，第444-445页

628. 若人求索方法而心中无明确之题，多半徒劳无功。

——大卫·希尔伯特《数学问题》；《美国数学会公报》第8卷，第444页

夫求术而无定题者，犹缘木求鱼，终归于惘。

——希尔伯特，大卫《算学诸问》；《美邦算学会刊》卷八，页四百四十四

629. 数学问题当具挑战性以引人探索，却不可全然无解，免得嘲弄吾辈之努力。它应如路标，在通往隐秘真理的迷宫小径上为我们指引方向，最终亦提醒我们成功解题时的喜悦。

——大卫·希尔伯特《数学问题》；《美国数学会公报》第8卷，第438页

算题之道，当若奇峰耸峙以诱探幽之客，然非绝崖峭壁使人望而却步。宜为津梁，引迷途者至藏珍之所，亦为甘醴，酬解惑者以畅然之悦。

——希尔伯特，大卫《算学诸问》；《美邦算学会刊》卷八，页四百三十八

630. 伟大数学家皆依“先猜想后证明”之原则行事，而几乎所有重要发现确实皆以此方式达成。

——爱德华·卡斯纳《几何当前问题》；《美国数学会公报》第11卷，第285页

古之算学巨擘，多循“臆测于先，证验于后”之法，观乎往圣绝学，诚哉斯言，盖天下妙理，十之**由此而得。

——卡斯纳，爱德华《今之几何难题》；《美邦算学会刊》卷十一，页二百八十五

631. “分而治之”在代数中与在治国之术中同样正确，但“扩而治之”亦同等正确，甚至更富成效。要做的事或要证明的越多，做事或证明反而越容易。

——J.J.西尔维斯特《不变式基本定理的证明》；《哲学杂志》（1878年），第186页；《数学论文集》第3卷，第126页

“分而治之”，于代数犹治国；然“扩而统之”，其效更彰。事愈繁、证愈众，则行之愈易，譬如积薪，厚基自固。

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喜欢数学纪闻录请大家收藏：()数学纪闻录全本小说网更新速度全网最快。——西尔维斯特，J.J.《不变式通理证》；《哲思丛刊》（1878年），页一百八十六；《算学集稿》卷三，页一百二十六

632. 如同在实际生活领域，科学领域也出现了分工。个人已无法掌控数学的整个领域，只能以某种方式掌握其各个部分，从而通过创造性研究扩展知识的边界。

——E.兰佩《1884-1899年的纯数学》，第10页

治学如治世，分工乃大势所趋。今之学者，难兼通算学全舆，唯专精一隅，方可拓智识之疆界，启造化之秘机。

——兰佩，E.《一八八四至一**九年纯粹算学》，页十

633. 随着数学知识的扩展，单个研究者最终是否无法涵盖这一知识的所有领域？作为回答，让我指出，在数学科学中根深蒂固的是，每一次真正的进步都与更锐利工具和更简单方法的发明相伴而生，这些工具和方法同时有助于理解早期理论，并摒弃某些更复杂的发展。因此，当单个研究者将这些更锐利的工具和更简单的方法为己所用时，他在数学的各个分支中找到路径会比在任何其他科学中更容易。

——大卫·希尔伯特《数学问题》；《美国数学会公报》第8卷，第479页

算学之域日广，学者岂终难遍览？然观夫算道，每有精进，必伴利器新术而生。此术既成，旧论可明，繁芜可弃，故精于此道者，反能纵横诸科，较他学更易。

——希尔伯特，大卫《算学诸问》；《美邦算学会刊》卷八，页四百七十九

634. 乍看之下，数学领域的快速扩展似乎必然对其未来发展构成威胁。不仅领域范围扩大，研究主题数量也迅速增加，数学家的工作趋向于变得越来越专业化。当然，说没有数学家能理解其他任何数学家的工作，这只是一种夸张的说法，但确实每天都越来越难让一位数学家，即使只是大致地，了解除自己研究领域之外的任何数学分支的进展。不过我相信，数学领域的不断扩大，总会被交流手段的日益便利所抵消。更多的知识为我们开启新的原理和方法，这些原理和方法可能使我们最轻松地获得以前最难获得的结果；而符号表示的改进，在简化学科和使学科更容易理解方面都可能产生最强大的影响。数学工作者的职责不仅在于探索新真理，还在于设计可用于发现和表达这些真理的语言；一位伟大数学家的天赋，既体现在他为解读其研究主题而发明的符号表示中，也体现在他所取得的成果中……我深信，精心选择的符号表示有能力简化复杂理论并拉近遥远理论的距离，而且可以有把握地预测，对原理的更多了解以及由此产生的数学符号语言的改进，将始终使我们能够令人满意地应对仅因学科范围扩大而产生的困难。

——J.W.L.格莱舍《英国科学促进会A组主席演讲》（1890年），《自然》第42卷，第466页

算学疆域日辟，初看似为隐忧：其地愈广，其题愈繁，学者渐趋于专精。或言“隔行如隔山”，虽为过论，然欲通览诸科，诚非易事。然吾深信，智识日增，则新法迭出，昔之难若天堑者，今可履险如夷；符号之妙，可化繁为简，弥合睽隔。善算者，既探玄理，亦创妙法，其才思既显于证道之果，亦彰于制符之智。择要而书，简言达意，则算学纵广，终可从容以驭。

——格莱舍，J.W.L.《英吉利格物会甲部会长演说》（一**〇年）；《自然》卷四十二，页四百六十六

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