数学纪闻录 第59章 于他学之助益，未可限量

1639.严格来讲，数论本身与负数、分数、无理数无关。任何必须借助这些概念表述的定理，都非纯粹数论命题；任何本质依赖外部分析理论的数论定理证明，都不能称为最终完备的证明。

——G. B. 马修斯

《数论》（剑桥，1892 年），第一部分，第 1 节

若严论之，数论本与负数、分数、无理数无涉。凡定理需借此类概念以述者，非纯数论命题；凡数论定理之证，其本质依赖外部分析理论者，不得谓为终极完证。

——G.B.马修斯《数论》（剑桥，1892年），第一部分，第1节

1640.许多数学科学领域的伟大大师，最初都是被与数字相关的问题吸引而踏上数学探究之路的。只要瞥一眼如今那些刊载着待解问题的期刊，就不难发现这类数字问题至今仍散发着独特的魅力。人类似乎天生就对数字怀有兴趣，可惜在我们国家，这种兴趣未能得到更自由的施展空间。数论的方法具有其独特性，对于那些多年来习惯了研究连续量理论（其处理方式截然不同）的学生而言，这些方法并不容易掌握。因此，将数论的部分内容纳入我国大学的常规数学教学课程是极为可取的。自1801年高斯在其卓越的论着中确立了数论的真正研究方向后，数论便迎来了新的发展纪元。而且，若不了解高斯赋予数论的原理与概念，任何人都难以在该学科的任何领域做出有价值的研究。

——J. W. L. 格莱舍

（英国科学促进会主席致辞，1890年；《自然》杂志，第42卷，第467页）

夫数学诸领域之巨匠，初多为数字相关问题所引，遂启探究之途。今观载有未解之题之期刊，此类数字问题仍具殊韵，可见人类于数字似有天性之好。惜乎吾国之中，此趣未得畅展。数论之法自有其异，于惯研连续量理论（其术大异）之生徒而言，殊难通晓。是以将数论部分内容纳入大学常规数学课，实为允当。自1801年高斯于其宏论中立数论正途，此学乃开新纪。且若不谙高斯所赋数论之原理概念，无人能于该领域致有价值之研也。

——J. W. L. 格莱舍（英科学促进会主席致辞，1890年；《自然》杂志，第四十二卷，第四百六十七页）

1641.让我们暂且关注这样一个事实的普遍意义：计算工具确实存在，它们能帮数学家从数值计算的纯机械性工作中解脱出来，而且完成工作的速度更快、精度更高，因为机器不会像人类计算者那样出现疏漏。这类机器的存在证明了计算并不关乎数字的意义，而本质上只涉及运算的形式法则——因为机器只能遵循这些法则（其构造使然），而对数字意义的直觉感知则完全无从谈起。

——F. 克莱因（《高观点下的初等数学》，莱比锡，1908年，第一卷，第53页）

且观一事之普遍义：计算之器实存，可使数学家脱于数值计算之机械劳作，且速更疾、精度更确，以机器无人类计算者之失也。此类器械之存，足证计算非关数字之意，而本在运算之形式法则——以机器唯循此法则（其构造使然），于数字之意则全无所觉故也。

——F. 克莱因

（《高观点下之初等数学》，莱比锡，1908年，第一卷，第五十三页）

1642.数学是科学的女王，而算术是数学的女王。她时常屈尊为天文学及其他自然科学提供帮助，但在所有的学科关系中，她都理应占据首位。

——高斯

（萨托里乌斯·冯·瓦尔特豪森：《纪念高斯》，莱比锡，1866年，第79页）

数学者，科学之女王也；算术者，数学之女王也。其常屈尊助天文学及他自然科学，然于诸学科之属，固当居首。

——高斯

（萨托里乌斯·冯·瓦尔特豪森：《纪念高斯》，莱比锡，1866年，第七十九页）

1643.一位求知若渴的青年来到阿基米德面前，

对他说：“请将我引入这神圣的学问之中，

它为天文学提供了如此卓越的服务，

还在天王星之外发现了新的行星。”

智者回应道：“你称这门学问为神圣？它的确如此，

但早在它探索宇宙之前，它就已神圣，

早在它为天文学提供卓越服务之前，

早在它在天王星之外发现新行星之前。

你在宇宙中所见到的，只是神圣的倒影，

永恒的数字才在奥林匹斯众神之列中宝座高踞。”

——C. G. J. 雅可比

（《数学杂志》，第101卷，1887年，第338页）

有求知青年见阿基米德，曰：“愿引入此神圣之学，其为天文供卓越之助，更于天王星外得新星。”智者答曰：“子谓此学神圣？诚然。然其探宇宙之前已神圣，为天文供卓越之助之前已神圣，于天王星外得新星之前已神圣。子于宇宙所见，乃神圣之倒影，永恒之数方居奥林匹斯众神之列，高踞宝座也。”

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喜欢数学纪闻录请大家收藏：()数学纪闻录全本小说网更新速度全网最快。——C. G. J. 雅可比

（《数学杂志》，第一百零一卷，1887年，第三百三十八页）

1644.高等算术为我们呈现了无穷无尽的有趣真理——这些真理并非孤立存在，而是存在紧密的内在联系。随着我们知识的增长，我们不断在其中发现新的、有时甚至是完全意想不到的关联。其理论的一大部分还因其独特性而更添魅力：那些带有简洁特征的重要命题，往往通过归纳法就能轻易发现，但其本质却极为深奥，以至于我们常常在多次徒劳尝试后才能找到证明方法；即便成功证明，也往往要借助繁琐且非自然的过程，而更简单的方法可能长期不为人知。

——C. F. 高斯

（为艾森斯坦《数学论文集》撰写的序言，柏林，1847年，[H. J. S. 史密斯]）

高等算术示吾辈无穷趣味之真理，非孤立而实具内在密联。吾辈知识愈增，常于其中得新且偶或意外之关联。其理论大半更以独特为魅：夫具简洁之征之要题，每以归纳法易见，然其本质深奥，吾辈常数试徒劳方得证法；即得证，亦多藉繁琐非自然之术，而简易之法或久隐不显。

——C. F. 高斯

（为艾森斯坦《数学论文集》作序，柏林，1847年，[H. J. S. 史密斯]）

=1645.=[数论]已获得数学家们越来越多的关注，其重要性与日俱增。它的成果数量之多、意义之重，论证之精准严密，方法之多样，以及时常揭示出看似孤立的真理之间的内在联系，还有它在分析学其他领域的众多应用，都同样令人瞩目。

——H.J.S.史密斯

（《数论报告》，英国科学促进会，1859年；《数学论文集》第1卷，第38页）

数论之学，益为数学家所重，其势日增。盖其成果之繁与要，论证之精与严，方法之众，偶揭看似孤立之理间之深契，及于分析学他域之多效，皆足称奇。

——斯密司（H.J.S.）

《数论考》，英学会，咸丰九年；《算学文钞》卷一，三十八页

=1646.=[高斯发明的同余符号“≡”]是一个显着例证，表明恰当的符号表示能带来诸多益处，也标志着算术科学发展的一个重要里程碑。

——G.B.马修斯

（《数论》，剑桥，1892年，第一部分，第29节）

高斯所创“≡”号，足证善用符号之益，实为算术之学演进一纪元也。

——马休斯（G.B.）

《数论》（剑桥，光绪十八年），上篇，二十九节

=1647.=[正如高斯首次指出的那样]，割圆术问题（即把圆周等分为若干份）在很大程度上依赖于算术方面的考量。这是数论与超越分析乃至纯粹几何之间存在联系的最早且最简单的例子，这些联系常常出人意料地出现，乍看之下又显得十分神秘。

——G.B.马修斯

（《数论》，剑桥，1892年，第一部分，第167节）

如高斯初言，割圆之术（即分圆为若干等份），奇依算术之思。此乃数论与超越分析、乃至纯几何相系之最早最简者，其关联常出不意，初观甚幽。

——马休斯（G.B.）

《数论》（剑桥，光绪十八年），上篇，一百六十七节

=1648.=[我有时会思考]，围绕素数概念的深层奥秘，或许源于我们在时间认知上的能力局限——时间可能和空间一样，本质上是多维的。对于那些感知方式基于“面性”时间（而非我们受限于“线性”延展时间）的存在而言，这类真理可能会变得显而易见。

——J.J.西尔维斯特

（《数学论文集》第4卷，第600页，脚注）

余尝思之，素数之理所蕴深秘，或缘吾辈于时间之识力有涯——时若空然，本为多维。若有感知依“面”而非吾辈所囿“线”延之时间者，此类真理自明矣。

——西尔维斯特（J.J.）

《算学文钞》卷四，六百页，注

第十七章

代数学

=1701.= 代数学作为一门科学，即便抛开其任何实际用途不谈，也具备数学作为研究对象所共有的全部优势，这些优势无需一一列举。无论是将其视为研究数量的科学，还是作为符号语言，对于充分掌握算术且具备足够理解能力以直面其难点的人而言，代数学都能发挥极大作用。

——德·摩根（A. De Morgan）

《代数学基础》（伦敦，1837 年），序言

代数学者，纵舍其用，亦具数学之通长，不待枚举。或以量理观之，或以符号言观之，于精算术、有慧识者，足以探其奥，致大用焉。

——德·摩根《代数学要》（伦敦，1737年），序

=1702.= 代数学是慷慨的，她常常给予超出所求之物。

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喜欢数学纪闻录请大家收藏：()数学纪闻录全本小说网更新速度全网最快。——达朗贝尔（D’Alembert）

引自《美国数学会公报》第 2 卷（1905 年），第 285 页

代数至公，所予常逾所求。

——达朗贝尔语，见《亚美理哥数学会公报》第二卷（1905年），二百八十五页

=1703.= 在我看来，符号算术的运算为人们提供了我所见过的最清晰的理性训练之一：其中任何操作都需严谨且专注的推理，并且当运算完成时，整个方法与过程会即刻呈现在纸上，为分析者提供一种持久且近乎可视化的推理。

——罗伯特·波义耳（Robert Boyle）

《着作集》（伦敦，1772 年），第 3 卷，第 426 页

符号算术之演算，予观之，乃人理思之最明训也：凡操作必以精审推究，既毕，则法与程了然纸上，为析者留持久可见之推论。

——波义耳《文集》（伦敦，1772年），卷三，四百二十六页

=1704.= 人类心智从未发明过比代数学更能节省劳力的工具。

——《国家》杂志第 33 卷，第 237 页

人之智，未创过劳省于代数之器。

——《国民》第三十三卷，二百三十七页

=1705.= 不懂代数学的人无法想象其中所能达成的奇妙成就；而人类聪慧的心智还可能在其他知识领域发现怎样的改进与助力，尚难以断言。至少我相信，并非只有数量的概念能够被论证与认知；倘若恶习、激情与专横的利益不加以阻挠，其他或许更有用的思考领域也能为我们提供确定性。

——约翰·洛克（John Locke）

《人类理解论》第 4 卷，第 3 章，第 18 节

不通代数者，莫知其能臻之奇；而人智所启，于他学之助益，未可限量。至少信之：非独量之念可证可知，若去恶习、远私意，他域之思或更有用，亦能致确然之知。

——洛克《人类理解论》卷四，第三章，十八节

=1706.= 代数学不过是书写的几何学，而几何学不过是图形化的代数学。

——索菲·热尔曼（Sophie Germain）

《弹性曲面研究》

代数者，书之几何也；几何者，图之代数也。

——热尔曼《弹性曲面考》

=1707.= 代数学与几何学若各自独立发展，其进步便会缓慢且应用受限；但当这两门科学结合时，它们彼此增强，以迅捷的步伐共同迈向完善。

——拉格朗日（Lagrange）

《数学基础讲义》，第五讲

代数、几何，若独行，则进缓用隘；及其合也，相济相成，骤趋于至善。

——拉格朗日《数学初步》，第五讲

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