数学纪闻录 第71章 超越函数

1918. 所有精通此道的人都会认同，即便是对自然的科学研究的基础内容，也只有那些至少掌握了微分、积分 calculus 基础以及解析几何——也就是所谓高等数学的初等部分——的人才能理解……我们应该思考，至少在理科高中的课程表中，是否能留出足够的时间来安排这些内容……

首先要考虑的是，让某些不需要深入数学知识的学生群体不必满足大学对数学的要求，或者以一种大学尚未采用的方式，让他们能够获得必要的数学知识。我认为建筑师、化学家以及所谓的描述性自然科学专业的学生都属于这类群体。此外，我长期以来一直认为，医学生掌握上述范围内的数学知识会非常有益，因为如果一看到微分或积分符号就感到害怕，就不可能理解深入的生理学研究。——F.克莱因，《德国数学家协会年报》，第2卷（1902年），第131页。

凡精于此道者，皆知即便是对自然之科学探究的基础，亦唯有至少通微分、积分之基及解析几何——即所谓高等数学之初级部分者，方能领会……吾辈当思，至少理科高中课程，能否匀出余裕以容此等学问……

首当考量者，使大学中无需深数学知识之生徒，得脱数学之要求；或使彼等能以大学未用之法，习得必要之数学。吾谓建筑师、化学家及所谓描述性自然科学之生徒属此列。再者，吾久以为，医学生习上述范围之数学，甚有益也。盖若见微分、积分符号即惧，必难明高深之生理研究。——F.克莱因《德国数学家协会年报》，卷二（1902年），页一百三十一。

1919. 熟悉这一领域的人都会认同，普通积分只不过是对微分的“记忆”……进行积分的各种技巧，并非是从未知到已知的转换，而是从记忆无法派上用场的形式转换为记忆能够发挥作用的形式。——奥古斯塔斯·德·摩根，《剑桥哲学学会会报》，第8卷（1844年），第188页。

寻常积分，不过微分之“忆”耳……积分之诸术，非由未知至已知，乃由记忆难及之形，转为记忆可用之形也。——奥古斯塔斯·德·摩根《剑桥哲学学会会报》，卷八（1844年），页一百八十八。

1920. 假设有这样一种智慧，它能在一瞬间理解驱动自然的所有力量以及构成自然的所有存在的各自位置，而且这种智慧强大到足以对这些数据进行分析，那么它就能用同一个公式涵盖宇宙中最大天体和最微小原子的运动：对它而言，没有什么是不确定的，未来和过去都如同现在一样展现在它眼前。人类的心智在天文学领域所达到的完善程度，正是这种智慧的微弱体现。人类在力学、几何学领域的发现，再加上万有引力的发现，使其能够用同一个解析表达式来描述世界体系的过去和未来状态。——拉普拉斯，《概率的分析理论》，引言；《全集》，第7卷（巴黎，1886年），第6页。

设若有一智识，能瞬间悟透驱动自然之诸力，及构成自然之万物所处之位；且此智识之力，足以析此数据，则能以一式统摄宇宙中最大天体与最微原子之运动：于其而言，无物不确定，未来与过去皆如当下在目。人类心智于天文学所臻之境，即此智识之微影。人类于力学、几何学之发现，加以万有引力之得，使其能以同一解析表达式，述世界体系之过往与将来。——拉普拉斯《概率的分析理论》引言；《全集》，卷七（巴黎，1886年），页六。

1921. 自然选择在一代中的作用与在十万代中积累的结果之间的关系，或许就如同微分和积分之间的关系。尽管我们可以对微分和积分的关系进行计算，但很少能完全弄明白这种关系。难道我们会因此怀疑积分结果的正确性吗？——埃米尔·杜·布瓦-雷蒙，《演讲集》，第1卷（莱比锡，1885年），第228页。

自然选择于一代之作用，与其于十万代之累积结果，其关系或如微分与积分。吾辈虽能演算，然鲜能尽明此关系。难道因此便疑积分之确乎？——埃米尔·杜·布瓦-雷蒙《演讲集》，卷一（莱比锡，1885年），页二百二十八。

1922. 似乎每个攀登数学帕纳塞斯山的人，在旅途中的某个时刻，都应该坐下来，创造一两个定积分，为这一共同的宝库添砖加瓦。——J.J.西尔维斯特，《关于庞塞莱定理的沉思注解》；《数学论文集》，第2卷，第214页。

似每一位攀登数学帕纳塞斯山之行者，于途间某处，皆当坐而创一两个定积分，以丰共藏。——J.J.西尔维斯特《关于庞塞莱定理的沉思注解》；《数学论文集》，卷二，页二百一十四。

1923. 对任何自然现象理论的实验验证，通常都取决于积分的结果。——J.W.梅勒，《化学和物理专业学生的高等数学》（纽约，1902年），第150页。

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喜欢数学纪闻录请大家收藏：()数学纪闻录全本小说网更新速度全网最快。对任何自然现象理论之实验验证，通常皆系于积分之果。——J.W.梅勒《化学和物理专业学生的高等数学》（纽约，1902年），页一百五十。

1924. 在所有数学学科中，微分方程理论最为重要……它为所有那些涉及时间的自然基本现象提供了解释。——索菲斯·李，《莱比锡报告》，第47卷（1895年），数学-物理类，第262页。

数学诸科中，微分方程理论为最要……凡自然之基本现象涉及时序者，皆由此理而得解。——索菲斯·李《莱比锡报告》，卷四十七（1895年），数理类，页二百六十二。

1925. 若我们思想的数学表达导出了无法积分的方程，那么这一工作假说要么必须通过其他方式验证，要么就只能归入未经证实的推测的庞大仓库。——J.W.梅勒，《化学和物理专业学生的高等数学》（纽约，1902年），第157页。

若吾人思想之数学表达，导出不可积之方程，则此假说或需他法验证，或归入未证之臆测库中。——J.W.梅勒《化学和物理专业学生的高等数学》（纽约，1902年），页一百五十七。

1926. 众所周知，整个现代数学的核心问题是研究由微分方程定义的超越函数。——F.克莱因，《数学讲座》（纽约，1911年），第8页。

众所周知，现代数学之核心问题，乃研微分方程所定义之超越函数。——F.克莱因《数学讲座》（纽约，1911年），页八。

1927. 每个人都以为自己知道曲线是什么，直到他学了足够多的数学，被无数可能的例外情况弄糊涂……曲线是这样的点的全体：其坐标是一个参数的函数，且该函数可以进行任意多次微分。——F.克莱因，《高观点下的初等数学》（莱比锡，1909年），第2卷，第354页。

人皆自谓知曲线为何，然学数学既深，遇无数例外，则惑然矣……曲线者，点之全体也，其坐标为一参数之函数，且可任意次微分。——F.克莱因《高观点下的初等数学》（莱比锡，1909年），卷二，页三百五十四。

1928. 傅里叶定理不仅是现代分析最美妙的成果之一，而且可以说，它为处理现代物理学中几乎所有深奥问题提供了不可或缺的工具。仅举声振动、电信号沿电报线的传播以及地壳热传导为例——这些问题若没有傅里叶定理，在整体上便难以解决——但这也只是略微体现了它的重要性。——汤姆森与泰特，《自然哲学原理》，第一章。

傅里叶定理，不独为现代分析最美之成果，更可谓处理现代物理学中诸深问题之必备工具。仅言声振、电报线传电、地壳导热，此等问题舍此则难究其全，亦足见其要。——汤姆森与泰特《自然哲学原理》第一章。

1929. 使用双曲函数的主要优势在于，它们揭示了某些无理函数积分之间的奇妙类比。——W.E.拜厄利，《积分学》（波士顿，1890年），第30页。

用双曲函数之要益，在显某些无理函数积分间之奇似。——W.E.拜厄利《积分学》（波士顿，1890年），页三十。

1930. 双曲函数在纯物理学的各个分支，以及物理学的应用中（无论是对观测科学、实验科学，还是对技术而言）都极为有用。因此，每当某个实体（如光、速度、电或放射性）经历逐渐吸收或衰减时，其衰减过程都可用某种双曲函数来表示。墨卡托投影同样是通过双曲函数计算的。每当机械应变大到可以测量时，用双曲函数来表达最为简洁。因此，地质形变总会导出这类表达式……——C.D.沃尔科特，《史密森尼数学用表：双曲函数》（华盛顿，1909年），广告页。

双曲函数于纯物理学各分支及物理之应用（无论观测、实验科学，抑或工艺）皆极有用。故凡实体（如光、速、电、放射性）渐被吸收或衰减，其过程皆可用某种双曲函数表之。墨卡托投影亦以双曲函数算之。机械应变可测时，以双曲函数表之最简。故地质形变，必生此类表达式……——C.D.沃尔科特《史密森尼数学用表：双曲函数》（华盛顿，1909年），广告页。

1931. 几何学有时看似领先于分析学，但事实上，它的先行就像仆人走在主人前面，为其清理道路、照亮前路。两者之间的差距，如同经验主义与科学、知性与理性、有限与无限之间的差距那般遥远。——J.J.西尔维斯特，《哲学杂志》，第31卷（1866年），第521页。

几何学有时似先于分析学，实则如仆役导主，清途照明耳。二者之差，犹经验与科学、知性与理性、有限与无限之隔。——J.J.西尔维斯特《哲学杂志》，卷三十一（1866年），页五百二十一。

1932. 自然界向我们展示了具有明确数学依赖关系的可测量、可观测的量；当我们观察到自然现象随距离或时间变化时，函数的概念便由此产生。几乎所有“已知的”函数，都是在试图解决几何、力学或物理问题时出现的。——J.T.默茨，《十九世纪欧洲思想史》（爱丁堡与伦敦，1903年），第696页。

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喜欢数学纪闻录请大家收藏：()数学纪闻录全本小说网更新速度全网最快。自然示人以可测可观之量，具明确数学关联；观自然现象随距离或时间而变，则生函数之念。几乎所有“已知”函数，皆出于解几何、力学或物理问题之尝试。——J.T.默茨《十九世纪欧洲思想史》（爱丁堡与伦敦，1903年），页六百九十六。

1933. 函数的概念——这朵现代数学思想之花。——托马斯·J.麦科马克，《论科学定律与科学解释的本质》，《一元论者》，第10卷（1899-1900年），第555页。

1933. 函数之概念，乃现代数学思想之奇葩。——托马斯·J.麦科马克《论科学定律与科学解释的本质》，《一元论者》，卷十（1899-1900年），页五百五十五。

1934. 福克斯：你之言令我心惊胆战，

仿佛圆已在我脑中被化方。

梅菲斯特：接下来，你定然应当

潜心钻研函数理论，

深思熟虑去洞察

那些难以积分之物。

那里的定理你用之不尽，

只需仔细数清零点，

反复转换、映射，遍历平面，

且对西塔函数切勿吝用。

——库尔特·拉斯维茨，《浮士德悲剧（之）第X部》；《数学与自然科学教学杂志》，第14卷（1883年），第316页。

福克斯：君言令我惶惑，

如圆在脑中方之。

梅菲斯特：继而，君当潜心

研习函数之理，

深思熟虑，

洞察不可积者。

定理丰赡，

当数零点，

反演、映射，遍历平面，

且不惜用西塔积。

——库尔特·拉斯维茨《浮士德悲剧（之）第X部》；《数学与自然科学教学杂志》，卷十四（1883年），页三百一十六。

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