数学纪闻录 第80章 它太过癫狂

2109. 格雷戈里·圣文森特是最厉害的化圆为方研究者，他的研究让他发现了很多真理：他找到了双曲线弧的性质，后来纳皮尔的对数也因此被称为双曲对数。蒙图克拉提到他时，说得既巧妙又实在：从来没有人能凭着这么高的天赋去研究化圆为方，而且除了他的主要目标没实现，其他方面的成就都这么大。——德·摩根，A. 《悖论集锦》（伦敦，1872），第70页。

格雷戈里·圣文森特，乃最杰出之化圆为方研究者，其研究使他发现诸多真理：他找到双曲线弧之性质，后纳皮尔对数因此被称为双曲对数。蒙图克拉言及他，语带巧妙而实在：从未有人凭如此高天赋研化圆为方，且除主要目标未达，其他方面成就斐然。——德·摩根，A.《悖论汇编》（伦敦，1872），七十页。

2110. 我学到几何的时候，知道了有一个命题，几百年来人们一直在找它的证明方法，我就忍不住想试试自己能不能找到。要是我承认直到现在还坚信自己成功了，你大概会觉得我很傻吧。——波尔查诺，伯纳德。《自传》（维也纳，1875），第19页。

吾学几何时，知有一命题，数百年间人皆求其证明，吾不禁欲试己能。若吾坦言至今仍信己成功，君或谓吾愚也。——波尔查诺，伯纳德。

《自传》（维也纳，1875），十九页。

2111. 《平行线理论》

众所周知，要完善这一理论，只需证明以下命题，而欧几里得将其作为公理假定：

命题：若两条直线EC和DB与第三条直线CP所形成的内角ECF和DBC之和小于两个直角，则这两条直线若充分延长，必将相交。

[插图：一幅用于辅助证明的平行线和相交线几何图]

证明：作PCA等于CBD的补角PBD，再作ECF、FCG等角，每一个都等于ACE，这样ACF=2·ACE，ACG=3·ACE，依此类推。那么，无论角ACE有多小，总存在某个数n，使得n·ACE=ACH等于或大于ACP。

再者，取BI、IL等线段，每一段都等于CB，并作IK、LM等与BD平行，那么图形ACBD、DBIK、KILM等都是全等的，且ACIK=2·ABCD，ACLM=3·ACBD，依此类推。

取ACNO=n·ACBD，其中n与表达式ACH=n·ACE中的n取值相同，那么ACNO必然小于ACP，因为ACNO必须加上ONP才能等于ACP。由此可知，ACNO也小于ACH，取两者的n分之一，可得ACBD小于ACE。

但如果ACE大于ACBD，那么CE和BD必定相交，因为否则的话，ACE就会是ACBD的一部分。

——《数学杂志》，第2卷（1834年），第198页

《平行线论》

盖欲完此论，唯证一义足矣，欧几里得尝以之为公理：

题曰：两线EC、DB与第三线CP所成内角ECF、DBC，其和若小于二直角，则两线延长之，必相交。

[图注：绘平行线与相交线，以辅证]

证曰：作PCA等于CBD之补角PBD，复作ECF、FCG诸角，各等于ACE，使ACF=2·ACE，ACG=3·ACE，余类推。然则无论ACE多微，必有数n，使n·ACE=ACH，或等于ACP，或大于之。

又取BI、IL诸段，各等于CB，作IK、LM平行于BD，则形ACBD、DBIK、KILM皆全等，且ACIK=2·ABCD，ACLM=3·ACBD，余类推。

取ACNO=n·ACBD，n与ACH=n·ACE之n同，则ACNO必小于ACP，因ACNO必加ONP乃等于ACP。由此知ACNO亦小于ACH，取其n分之一，则ACBD小于ACE。

若ACE大于ACBD，则CE与BD必相交，否则ACE将为ACBD之一部。

——《算学杂志》二卷（1834年），百九十八页

2112. 你确定用欧几里得的方法无法三等分角吗？我不必为尝试此事白费哪怕一小时而懊悔，但我觉得，我们认为这件事做不到，更多是一种直觉、一种感觉，而非有确凿的证明。不过，一个世纪前，高斯用直尺和圆规作出正十七边形，在当时看来，不也几乎是不可能的吗？——汉密尔顿，W. R.

《致德·摩根的信》（1852年）

子果信欧几里得法不能三分角乎？吾未尝以试此而悔掷寸阴，然觉世人谓其不可，多出于直觉，非有确证。昔高斯以规尺作十七边正形，百年前视之，不亦类于不可能乎？——哈密尔顿《与德摩根书》（1852年）

2113. 这些几何悖论案例中，有一个颇为奇特：弗吉尼亚大学的一名学生（我不确定是不是毕业生）声称，几何学家们假定直线没有厚度是错误的。他基于自己的观点出版了一本学校几何学教材，还得到了纽约一位知名教育官员的认可，并且凭借这一点，这本书差点就被纽约的公立学校采纳为教科书。

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