数学纪闻录 第85章 连续统基数问题、算数公理相容性、李变换连续群等问题

1.康托尔的连续统基数问题

（根据康托尔的定义）若两个集合——即两个由普通实数或点构成的集合——能建立起一种对应关系，使得其中一个集合的每个元素，都能对应到另一个集合中唯一确定的元素，那么这两个集合就被称为“等价”或“具有相同基数”。

康托尔对这类点集的研究，引出了一个看似非常合理的定理，但尽管人们付出了极大努力，至今仍无人能证明它。这个定理是：

任何由无穷多个实数构成的集合（即任何数集或点集），要么与自然数集（1, 2, 3, …）等价，要么与全体实数集（即连续统，也就是一条直线上的所有点）等价。因此，从等价性角度来看，数集只存在两种类型：可数集与连续统。

由这个定理可直接推出：连续统的基数是可数集基数之后的下一个基数。因此，证明该定理能在可数集与连续统之间搭建一座新的桥梁。

我还想提一下康托尔的另一个极具意义的论断——它与上述定理联系极为紧密，或许还能为定理的证明提供关键思路。若一个实数集满足“对集中任意两个数，都能确定谁是‘前一个’、谁是‘后一个’，且若a在b之前、b在c之前，则a一定在c之前”，那么这个集合就被称为“有序集”。一个集合的“自然排序”指的是“小数在前、大数在后”的排序方式，但显而易见，集合的排序方式还有无穷多种。

若我们给定一个集合的某种排序，并从中选出一个子集（即部分元素构成的集合），这个子集也会是有序的。康托尔重点研究了一种特殊的有序集，他称之为“良序集”——其特征是：不仅集合本身有第一个元素，它的每个子集也都有第一个元素。

自然数集（1, 2, 3, …）按自然排序显然是良序集；但全体实数集（即按自然排序的连续统）显然不是良序集——比如，若我们取“一条线段上除去起点后的所有点”作为子集，这个子集就没有第一个元素。

由此引出一个问题：能否用另一种方式对全体实数进行排序，使得它的每个子集都有第一个元素？也就是说，连续统能否被视为良序集？康托尔认为答案应当是肯定的。在我看来，若能直接证明康托尔这一非凡论断（比如，实际给出一种排序方式，使得该排序下的每个子集都能找到第一个元素），将是极为理想的结果。

2. 算术公理的相容性

当我们研究某门学科的基础时，必须建立一套公理体系——它需精确且完整地描述该学科“基本概念”之间的关系。这套公理同时也是对这些基本概念的定义：在我们所研究的学科范围内，任何命题若不能通过有限步逻辑推理从公理推导得出，就不能被认定为正确。

深入思考后会发现一个问题：公理集中的各个公理之间是否存在依赖关系？是否存在某些公理包含共同的“成分”？若想得到一套“公理彼此完全独立”的体系，就必须把这些共同成分分离出来。

不过，在与公理相关的众多问题中，我认为最重要的是：证明公理之间不存在矛盾，即基于公理的有限步逻辑推理，永远不会推出相互矛盾的结论。

在几何学中，公理相容性的证明可通过“构造一个合适的数域”来实现——让这个数域中数的关系，与几何学公理形成对应。这样一来，若从几何公理推出矛盾，在该数域的算术中也必然能发现矛盾。通过这种方式，几何公理的相容性证明，就转化为了算术公理的相容性证明。

另一方面，证明算术公理的相容性需要一种直接方法。算术公理本质上就是已知的运算规则，再加上连续性公理。我最近整理过这些公理[4]，整理时将连续性公理替换为两个更简单的公理：一个是着名的阿基米德公理，另一个新公理的核心内容大致是：在其他所有公理都成立的前提下，数构成的体系是“无法再进一步扩展”的（即完备性公理）。

我确信，通过仔细研究并适当改造无理数理论中已知的推理方法，一定能找到证明算术公理相容性的直接途径。

从另一个角度说明这个问题的重要性：若给一个概念赋予了相互矛盾的属性，我认为从数学意义上说，这个概念“不存在”。比如，“平方等于-1的实数”在数学中就不存在。但如果能证明，通过有限步逻辑推理，永远不会从赋予概念的属性中推出矛盾，那我就认为这个概念（比如满足特定条件的数或函数）的“数学存在性”得到了证明。

就我们目前讨论的算术实数公理而言，证明公理的相容性，同时也是证明“完整实数系”或“连续统”的数学存在性。事实上，当公理相容性的证明完全完成后，那些偶尔出现的、对“完整实数系是否存在”的质疑，将变得毫无根据。

从上述角度来看，全体实数（即连续统）并非“所有可能的十进制小数序列”，也不是“所有可能的基本序列元素生成规则”的集合，而是一个“事物体系”——体系内事物的相互关系由设定的公理支配，且所有能通过有限步逻辑推理从公理导出的命题（也只有这些命题）在体系内为真。在我看来，只有这样定义，连续统的概念才具有严格的逻辑合理性；而且这似乎也最符合经验与直觉给我们的启示。

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喜欢数学纪闻录请大家收藏：()数学纪闻录全本小说网更新速度全网最快。如此一来，连续统的概念，甚至“所有函数构成的体系”的概念，其存在性与“整数系”“有理数系”，或是康托尔提出的“高阶数系”“基数系”的存在性，在本质上是相同的。因为我确信，后者的存在性（和连续统的存在性一样）都能按上述方式证明；但“所有基数构成的体系”或“康托尔所有阿列夫数构成的体系”则不同——可以证明，无法为它们建立一套我所定义的“相容公理体系”，因此按我的术语，这类体系在数学中是“不存在”的。

从几何基础领域，我想提出以下问题：

[4] 参见《德国数学家协会年度报告》第8卷（1900年），第180页。

3. 等底等高的两个四面体体积相等问题

高斯在给格尔林的两封信中[5]，曾对“立体几何的某些定理依赖于穷竭法（按现代术语，即依赖于连续性公理或阿基米德公理）”表示遗憾。高斯特别提到了欧几里得的一个定理：等高的三角锥（四面体）的体积比等于它们的底面积比。

目前，平面几何中类似的问题已得到解决[6]。格尔林也成功证明了“对称多面体体积相等”——他的方法是将对称多面体分割成全等的部分。但在我看来，要为上述欧几里得定理找到这样的“分割全等部分”的一般证明，很可能是不可能的；而我们的任务，就是给出“这种证明不可能”的严格论证。

要实现这一点，只需找到两个“等底等高的四面体”：它们既不能被分割成彼此全等的四面体，也不能通过“与全等四面体组合”形成两个可分割成全等四面体的多面体[7]。找到这样的两个四面体，就能证明“用分割法证明欧几里得定理”是不可能的。

[5] 参见《高斯全集》第8卷，第241页与第244页。

[6] 除早期文献外，可参见希尔伯特《几何基础》（莱比锡，1899年）第4章【汤森德英译本，芝加哥，1902年】。

[7] 本文撰写后，德恩先生（Herr Dehn）已成功证明了这种不可能性。参见他的短评《论等体积多面体》（Ueber raumgleiche Polyeder），发表于《哥廷根皇家科学会通报》（Nachrichten d. K. Gesellsch. d. Wiss. zu G?ttingen）1900年刊，以及一篇即将发表于《数学年刊》的论文【第55卷，第405-478页】。

4. 直线作为两点间最短距离问题

另一类与几何基础相关的问题如下：我们知道，若从构建普通欧几里得几何所需的公理中剔除平行公理（或假设平行公理不成立），同时保留其他所有公理，就能得到罗巴切夫斯基几何（双曲几何）。因此，我们可将其视为“与欧几里得几何相邻的几何”。

若进一步要求“直线上三点中‘仅有一点在另外两点之间’”这一公理不成立，就能得到黎曼几何（椭圆几何）——由此可见，黎曼几何是“仅次于罗巴切夫斯基几何的另一类非欧几何”。

若想针对阿基米德公理开展类似研究，只需假设该公理不成立，就能得到韦罗内塞（Veronese）与我本人曾研究过的“非阿基米德几何”。

由此引出一个更具普遍性的问题：能否从其他具有启发意义的角度出发，构建出“与欧几里得几何拥有同等合理性的相邻几何”？在此，我想让大家关注一个被许多学者用作直线定义的定理，即“直线是两点间的最短距离”。

这一表述的核心内涵，可简化为欧几里得的“三角形两边之和大于第三边”定理——显而易见，该定理仅涉及“基本概念”（即直接从公理导出的概念），因此更易于进行逻辑分析。

欧几里得在全等定理的基础上，借助外角定理证明了这一命题。但我们不难发现：仅依靠“与线段和角的叠合相关的全等定理”，无法证明欧几里得的这一定理，必须用到“三角形全等定理”（或等价的“等腰三角形底角相等定理”）。

因此，我们不妨设想这样一种几何：它满足普通欧几里得几何的所有公理，尤其满足除“三角形全等定理”（或除“等腰三角形底角相等定理”）外的所有全等公理，同时将“任意三角形中两边之和大于第三边”作为一条特殊公理。

人们会发现，这种几何确实存在——它正是闵可夫斯基在其着作《数的几何》[8]中构建的几何，且被用作他算术研究的基础。因此，闵可夫斯基几何也是“与普通欧几里得几何相邻的几何”，其核心特征可概括为以下两条规定：

1. 与定点O距离相等的点，位于普通欧几里得空间中以O为球心的“凸闭合曲面”上。

2. 若一条线段可通过普通欧几里得空间的“平移”变换变为另一条线段，则称这两条线段相等。

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喜欢数学纪闻录请大家收藏：()数学纪闻录全本小说网更新速度全网最快。闵可夫斯基几何同样满足平行公理。通过研究“直线是两点间最短距离”这一定理，我构建了另一种几何[9]：它不满足平行公理，但满足闵可夫斯基几何的其他所有公理。

“直线是两点间最短距离”这一定理，以及与之等价的“欧几里得三角形边的关系定理”，不仅在数论中意义重大，在曲面理论与变分法中也发挥着重要作用。正因如此，也因为我相信“深入研究该定理的成立条件”能为“距离概念”及其他基本概念（如平面概念、通过直线概念定义平面的可能性）带来新的启发，所以我认为，构建并系统研究这类几何是极具价值的。

[8] 莱比锡，1896年（指闵可夫斯基《数的几何》一书的出版信息）。

[9] 参见《数学年刊》第46卷，第91页。

5. 不假定定义群的函数具有可微性的李变换连续群概念

众所周知，李（Lie）借助“变换连续群”的概念构建了一套几何公理体系，并从群论的角度证明了这套公理足以支撑几何学。但李在其理论的基础部分就假定：定义群的函数具有可微性。这就留下了一个疑问：在李的理论框架中，“可微性假设”与“几何公理问题”相关联，这种关联是否真的不可避免？还是说，可微性其实是“群概念”与“其他几何公理”的推论，而非必需的前提？

这一思考，连同与算术公理相关的其他问题，共同引出了一个更具普遍性的问题：在不假定“定义群的函数具有可微性”的前提下，我们对李的“变换连续群”概念的研究能推进到何种程度？

李将“有限变换连续群”定义为这样一套变换体系：

x_i = f_i(x_1, x_2, \dots, x_n; a_1, a_2, \dots, a_r) \quad (i=1,2,\dots,n)

其核心性质是：任取体系中的两个变换（例如）

x_i = f_i(x; a) \quad \text{与} \quad x_i = f_i(x b)

将它们先后作用（即复合），得到的新变换仍属于该体系，因此可表示为

x_i = f_i(x; \phi_1(a,b), \phi_2(a,b), \dots, \phi_r(a,b))

其中\phi_1, \phi_2, \dots, \phi_r是关于参数a与b的确定函数。

由此可见，“群的性质”完全体现在一组函数方程中，本身并未对定义群的函数f_i附加其他限制。但李在后续处理这些函数方程（即推导着名的“基础微分方程”）时，却必然假定了“定义群的函数具有连续性与可微性”。

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