数学纪闻录 第88章 舒伯特计数、拓扑学、由全等多面体构建空间等问题

我再补充一个几何问题:

18. 由全等多面体构建空间

当我们探究平面中“存在基本区域的运动群”时，会得到不同的答案——具体结果取决于所考虑的平面是黎曼（椭圆）平面、欧几里得平面，还是罗巴切夫斯基（双曲）平面。

在椭圆平面的情形下，本质不同的基本区域类型仅有有限种，且只需有限个全等区域就能完全覆盖整个平面；实际上，这类运动群仅包含有限个运动。在双曲平面的情形下，本质不同的基本区域类型有无限种，即着名的庞加莱多边形；要完全覆盖平面，需要无限个全等区域。欧几里得平面的情形则介于两者之间：一方面，存在基本区域的本质不同的运动群类型仅有有限种；另一方面，要完全覆盖整个平面，仍需无限个全等区域。

在三维空间中，存在完全对应的情况。椭圆空间中运动群的有限性，是C.若尔当一个基本定理[41]的直接推论——该定理指出，n个变量的线性代换所构成的本质不同的有限群类型数量，不会超过一个由n决定的有限界限。弗里克与克莱因在关于自守函数理论的讲义中[42]，研究了双曲空间中“存在基本区域的运动群”；最终，费多罗夫[43]、舍恩弗利斯[44]，以及近期的罗恩[45]均已证明：在欧几里得空间中，“存在基本区域的本质不同的运动群类型”仅有有限种。

然而，适用于椭圆空间与双曲空间的结论及证明方法，虽可直接推广到n维空间，但将欧几里得空间的上述定理推广到n维情形，似乎面临极大困难。因此，探究下述问题十分必要：在n维欧几里得空间中，“存在基本区域的本质不同的运动群类型”是否也仅有有限种？

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