数学纪闻录 第147章 第二十级球体的巨人

对此，史密斯先生毫不在意：他坚持出版，于是这本书就摆在了我们面前。史密斯先生还算有点风度，用E.M.隐藏了他那位好心指导者的名字，也就是说，他把这错误分摊给了所有可能被怀疑曾试图完成那件毫无希望的任务——即往他脑袋里灌输一点点理智——的人。他违背了私人交往的礼仪。他不顾那位接手他案子的好心人的意愿，公布了那些本意只是为了清除他可怜脑袋里那个无望的妄想的信件。他理应受到最严厉的鞭挞；而且他会得到的：他这种滥用信任的行为将伴随他一生。这倒不是说他（在意图上再次）对他的恩人造成了什么伤害。E.M.以惊人的耐心将那些谬误整理成可理解的形式，并以非凡的毅力试图找到一个能让普通理性钻进去的缝隙——这些努力不止是值得尊敬：它们是令人钦佩的。我们可以向E.M.保证，像这本书这样彻底地暴露求圆积者的本性，是件好事。他本想给予詹姆斯·史密斯先生的好处，或许可以惠及他人。而且我们非常想知道他的真名，如果征得他同意，我们将予以公布。至于詹姆斯·史密斯先生，我们只能这么说：他并没有疯。疯子是在错误的前提下进行正确推理：而史密斯先生则是在毫无前提的情况下进行错误推理。

E.M.很快就发现，从所有迹象来看，史密斯先生得出周长是直径3又1/8倍的圆，是通过先假设存在这样一个圆，然后推导出某些结果，而这些结果碰巧又与推导它们所依据的假设并不矛盾。错误有时是自洽的。然而，E.M.为了彻底弄清他的依据，写了一封短信，陈述了他所理解的史密斯先生的假设，其中包含以下内容：以AC为直径，作圆D，根据假设，该圆的周长应等于AC长度的三又八分之一倍……在进一步讨论之前，我请求确认我是否正确地陈述了您的论证。 对此，史密斯先生回复道：您极其准确地陈述了我的论证。尽管如此，E.M.还是继续了下去，在上述情况之后，我们不禁将E.M.这两个字母看作是Everlasting Mercy的缩写。然而，最后，当史密斯先生直截了当地否认圆的面积介于内接和外切多边形的面积之间时，E.M.彻底败下阵来，放弃了这项任务。史密斯先生得以自由地撰写他的序言，谈论真理的必然胜利——奇怪的是，这也是所有无可救药的错误者共有的慰藉；将自己比作伽利略；并向世人揭露皇家天文学家的固执行为——史密斯曾想与他深入交谈，而后者回答说：先生，听您谈论这样一个主题的任何言论，都是浪费时间。

如此处理了詹姆斯·史密斯先生之后，我们接下来就此主题略作评论：一家期刊本不会主动探讨这样的主题，但由于那些自以为是者不断试图让旁人相信他们的谬误，使得这类评论变得时而必要。对于数学家，我们无话可说：问题在于，能向广大世人提供何种保证，证明那些邪恶的数学家并非串通一气来压制他们的优越者——詹姆斯·史密斯先生，这位当今化圆为方领域的伽利略。

首先让我们注意到，这个问题并非孤例：且不说高等数学中存在的数百万类似问题，单是求正方形的对角线，就面临着完全相同的困难，即出现一对线段，其中一条无法用另一条明确地表示出来。我们将向那些懂得乘法表的读者展示，他如何可以不断、不断、不断地逼近，却永远无法精确得到由边长求正方形对角线的方法。

请按照以下描述写下这几行数字，如果愿意，还可以继续写下去：

1 2 5 12 29 70 169 408 985

1 3 7 17 41 99 239 577 1393

从第三个数开始，每个数都是由前一个数的两倍加上再前一个数构成：例如，5 = 22 1，12 = 25 2，239 = 2*99 41。现在，从上面一行取出两个相邻的数字，再从下面一行取出位于第一个数字正下方的那个数字：例如

70 169

1. 将 99 和 169 相乘，得到 16,731。那么，如果你说 70 条对角线恰好等于 99 条边，那么你对对角线的认识就是有误差的，但这个误差的大小不超过对角线真实值的 1/16,731。同样地，说 5 条对角线恰好等于 7 条边，所涉及的误差也不超过对角线真实值的 1/84。

那么，为什么化方为对角线的问题没有像化圆为方的问题那样闻名呢？仅仅是因为欧几里得证明了第一个问题的不可能性，而第二个问题的不可能性直到上个世纪才被完全证明。

数学家们拥有许多彼此完全不同的方法，来得出同一个结果——即他们着名的圆周率近似值。在我们这个时代，一位无畏的计算者已将近似值推进到了他们所谓的607位小数：这是由霍顿勒斯的尚克斯先生完成的，而卢瑟福博士已验证了其中的441位。尽管607这个数字看起来很大，但公众对于所达到的精确度只会有一个模糊的概念。我们在查尔斯·奈特的《英国百科全书》中看到过对此事的描述，或许可以说明所获得的精确度是何等难以想象，尽管在理性上可以理解。

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