数学纪闻录 第148章 一道难题

现在，我将完整引用我已故朋友在1861年6月8日《雅典娜神殿》杂志上发表的简易驳斥，以及其前的评论。

几周前，我们曾对詹姆斯·史密斯先生在化圆为方方面的工作表达了不完全认同的看法，我们的读者想必已经看到，他还在我们的专栏上刊登了广告。他也将他的信件转给了利物浦《信使报》，并附上了一段他未在我们期刊上发表的额外声明。他否认自己违背了私人交往的礼仪，因为他的通信者校对了自己信件的校样，并且他的抗议仅针对公开其姓名一事。詹姆斯·史密斯先生在作出此声明前，声称我们将明知为虚假的事情当作真实的来对待；他在声明之后又说，我们没有读过他的着作，否则我们早该知道上述事实是真实的。史密斯先生的托辞如下：他的通信者E.M.说，我的信件并非为出版而写，我抗议将它们公开出版，并补充说因此我必须要求不要使用我的名字。其显而易见的含义是，E.M.抗议的是整个出版行为，但考虑到史密斯先生{114}决心要出版，故而要求不要使用他的名字。他后来校对了校样，仅仅意味着他认为让信件在自己的眼皮底下通过，比完全留给史密斯先生处理更为明智。

我们收到了W.罗万·汉密尔顿爵士的一份证明，指出圆的周长大于直径的3又1/8倍，此证明仅需欧几里得几何前四卷的知识。我们将其简要列出，供我们的年轻读者作为练习来补全。这让我们想起了过去的岁月，那时真正的几何学家们还认为值得花时间认真揭穿那些招摇撞骗者。史密斯先生的名声如今是确定无疑了：W.R.汉密尔顿爵士这番简短而轻松的揭露，将确保他因这个着名问题而受到关注。

需要证明的是，圆内接正20边形的周长大于直径的3又1/8倍，那么圆的周长当然更大于直径的3又1/8倍。

1. 根据欧几里得《几何原本》第四卷，圆内接正十边形的一边与该边加上半径所构成的长方形，等于半径的平方。但是乘积 791 × (791 1280) 小于 1280 × 1280；因此，如果半径为1280，则正十边形的边长大于791。

2. 当一条直径平分一条弦时，弦的平方等于直径两段分段之和与直径两段分段之差的乘积（即等于直径两段分段所构成的长方形的面积的两倍？此处依据几何定理：弦的一半的平方等于直径两段分段的乘积）。但是乘积 125 × (4 × 1280 - 125) 小于 791 × 791。因此，如果这条被平分的弦是正十边形的一边，并且半径仍为1280，则较短分段的两倍大于125。

3. 这个倍增后的分段与半径构成的长方形，等于圆内接正20边形一边的平方。但是乘积 125 × 1280 等于 400 × 400；因此，如果半径仍为1280，则上述正多边形的边长大于400。换句话说，如果半径用新的{115}数值16表示，因而直径为32，那么这个边长大于5，其周长超过100。所以，最终，如果直径为8，则圆内接正20边形的周长，以及更进一步的圆的周长，大于25：也就是说，圆的周长大于直径的3又1/8倍。

书目中的最后一部着作在1865年5月27日的《雅典娜神殿》杂志上得到了如下关注。

詹姆斯·史密斯先生似乎已经等得不耐烦，不想再等着在《悖论集萃》中占据一席之地了，于是他自行发表了一封致德·摩根教授的长信，还附带了各式各样的前言和后记。信的开头暗示《集萃》的出版间隔很长，而且显然没有任何充分的理由。由于史密斯先生暗示他想看到被其称为数学大象的德·摩根先生在幕后绞尽脑汁——让一头大象做这种事，而且还在这种地方做，真是古怪——以便得到一个答复，我们猜想他的意思可能是暗示，《集萃》之所以延迟，是在等待成功运作。现告知史密斯先生，自1863年10月起，除了最终总结部分外，《集萃》的全部手稿均已在我们手中。[这不包括补编。] 并无任何延迟：我们从一开始就知道，一系列历史文章会经常被时事所打断。詹姆斯·史密斯先生透露出，他始终未能得到德·摩根先生对其通信的私下回复：我们早该猜到这一点。他说：这位教授是只老鸟，不容易被抓到，无论我如何努力，直到此刻，我都未能诱使或嘲讽他进行讨论……史密斯先生截短了谚语：老鸟不会被糠秕捕获，也不会被嘲讽捕获——这似乎是史密斯先生用来指代他自己那些之言的字眼，而且只要发准第一个字母的音，这倒是个非常恰当的词。他为什么不尝试用一点点理智的呢？史密斯先生显然{116}认为，教授以其之身，却未能泵出足够的脑汁来应付一只鸟。严肃地说，史密斯先生不需要任何答复。有一点激起了我们的好奇心：他所说的从几何学和数学上证明究竟是什么意思？

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喜欢数学纪闻录请大家收藏：()数学纪闻录全本小说网更新速度全网最快。现在，我来继续我最初对此事的处理。

我毫不怀疑，詹姆斯·史密斯先生将成为我们这个时代最光彩夺目、无人能及的化圆为方者。他获得这一，并非因为他是利物浦商界一位有影响力且受人尊敬的成员——即使他的财力赋予的出版能力促使他就一个悖论发行了一整套文库；也并非因为一位数学家不厌其烦地与他通信，直至往来信件足以填满一本八开本的书卷；同样并非因为都柏林的威廉·汉密尔顿爵士对他的关注——汉密尔顿爵士用一种普通欧几里得几何学生都能理解的方式驳斥了他，而他却称这种驳斥为易于解释的显着悖论，但并未加以解释。他究竟因何获此，我接下来将予以说明。

在《一道难题》出版之前，詹姆斯·史密斯先生还只是众多化圆为方者中的普通一员。我本可以像对待其他人那样，对他加以嘲讽；而他也说，他毫不怀疑自己会在我的《集萃》的末尾部分分得一杯羹。但我能比那做得更，正如洛克可能会说的那样：他正是我关于逻辑运用所提及的某个观点的绝佳例证，因此我更倾向于将他的着作当作一个范例。在一点上，他确实配得上轻鞭，即便不是可怕的鞭笞。他告诉我，他会将他的解答以某种形式带给我，这种形式将迫使我承认它是一个既成事实 [还是**既成的错误**？]{117}，否则我自己就将面临被指控为数学上无知和愚蠢的羞辱。他还惠赐我几封私人信件。在第一封信中，他给了我一个，之后他无法想象我作为一名诚实的数学家，还可能对接受他的解答有丝毫犹豫。一个给完全陌生的人写信，带着他自认为的论证，并且附带一个隐含的威胁——如果对方不毫不犹豫地接受该论证，就会被指责为不诚实——这样的人，其谦逊自信的储量可谓相当可观；更不用说那些关于无知和愚蠢的次要指控了。所有这些都是盲目的自信，并无恶意掺杂其中；我反而有点喜欢这样：这让我理解了塞缪尔·约翰逊何以会说起他的老朋友科布夫人——我喜欢莫尔·科布的放肆。 至此，我已领教了我朋友温和的态度，接下来要面对他强硬的手段了：我将表明，他已经以值得一个更优π值的诚实和坦率，证明了他自己的无知和愚蠢。

史密斯先生证明每个圆的周长都是直径的3又1/8倍的方法，是直接假设情况就是如此——如果你不喜欢已知条件这个术语，那么，根据假设，令8个周长精确等于25个直径——然后表明，由此所有其他假设都会变得荒谬。在《难题》中，他通过以下类比来强调他拥有这样假设的权利：

当我能通过这个假设证明所有其他π值都会导致最严重的荒谬时，我想你（！）不敢（！）质疑我提出这个假设的权利；除非，你确实准备质疑欧几里得在纯粹几何中为了进行归谬法 {118}证明而假设一条错误线段的权力。

欧几里得假设的是他想要反驳的东西，并表明他的假设会导致荒谬，从而推翻自身。而史密斯先生假设的是他想要证明的东西，并表明他的假设会使其他命题导致荒谬。这对于所有能够推理的人来说已经足够了。詹姆斯·史密斯先生是无法与之论理的；他掌握了世界上所有思想家的主动权。蒙蒂克拉论及史密斯先生时，可能会用上他评价那位通过赋予50和49相同平方根来化圆为方的绅士的话：他已失去了被证据说服的权利。

史密斯先生的习惯是，当他发现一个结论与其自身的假设一致时，就将这种一致性视为该假设的证明。下面就是这个，如果我是诚实的，它将把我。假设π为3又1/8，他通过计算一个又一个例子发现，面积五分之一的平均值与八的五分之一的平均值之间的比例中项就是半径。即：

如果 π = 25/8，则 sqrt((πr2)/5 · 8/5) = r。

即使在一个诚实的头脑中，这个非凡的普遍原理也未必能确立史密斯先生的化圆为方，如果这个头脑恰好知道，对于任意两个数 a 和 b，我们只需要假设：

π = a2/b，就能得到 sqrt((πr2)/a · b/a) = r。

我们自然要问，史密斯先生对他所声称要探讨的主题，究竟能有怎样的一知半解？关于这一点，他已提供了令人满意的信息。我曾提到求两个比例中项的老问题，{119}作为倍立方问题的预备。提及此事后，史密斯先生写道如下。我将几个词用大写标出；并且我用 rq 表示平方根符号，因为小字号排版困难：

这确立了一条寻找等值的两个比例中项的万无一失的规则，并且不仅仅是解决化圆为方这个着名古老问题的预备步骤。给定任意有限数，比如20，及其四分之一部分 = ?(20) = 5。那么，rq(20 × 5) = rq 100 = 10，就是它们的比例中项。让这个已知的比例中项去求另一个等值的比例中项。那么，

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将是第一个数；因为

25 : 16 :: rq 20 : rq 8.192：并且 (rq 8.192)2 × [π]/4 = 8.192 × . = 6.4

将是第二个数；因此 rq(15.625 × 6.4) = rq 100 = 10，就是所求的比例中项……现在，我亲爱的先生，无论您可能多么有能力去证明现在认为、或过去曾认为化圆为方是可能的每个人都是傻瓜[不是**每**个人，史密斯先生！只是**一些**人；请学学逻辑量词]；但我怀疑，并且根据您的《集萃》所提供的证据，我不禁要怀疑，您以前是否曾有能力用我独特的方法找到两个比例中项。——（《难题》，第47, 48页。）[我郑重声明，我从未有过这种能力！]

所有读者都能看清下面的揭露。当给定5和20时，x是一个比例中项，当在5, x, 20中，5比x等于x比20。那么x必须是10。但是，x和y是两个比例中项，当在5, x, y, 20中，x {120} 是5和y之间的比例中项，而y是x和20之间的比例中项。这些中项是 x = 5 [cuberoot]4, y = 5 [cuberoot]16。但是史密斯先生找到了一个中项，又拐弯抹角地再次找到它，然后得出10和10作为这两个（相等的！）中项，作为这个着名古老问题的解。这就足够了：如果需要更多证据，证据还有的是。不要忘记，史密斯先生在海外找到了一位译者，在国内找到了两、也许三个追随者，并且——最令人惊讶的是——还有一位真正的数学家试图纠正他。而这位数学家直到厚厚的八开本信件往来之后，才意识到他试图耕耘的这块土地的底土性质。我已经不止一次地注意到，人们对于史密斯先生完全的无知程度似乎缺乏认识：那些没有接触过非几何学化圆为方者的人，对于是否有人能走到如此极端的地步，总抱有一种怀疑。但正如史密斯先生自己称呼我的，我是一只；在求圆积领域，我是一只西莫尔格，一只全知的亘古之鸟。

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